Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Del paralelogramo (cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos) $ABCD$ se conocen los vértices consecutivos $A(1,0,-1)$, $B(2,1,0)$ y $C(4,3,-2)$.

a) Calcule el coseno del ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [2 puntos]

b) Calcule las coordenadas del punto medio, $M$, del segmento $AC$. [2 puntos]

c) Calcule las coordenadas del vértice $D$. [4 puntos]

d) Calcule el área del paralelogramo $ABCD$. [2 puntos]

El coseno del ángulo que forman dos vectores se obtiene dividiendo su producto escalar entre el producto de sus módulos.

$\overrightarrow{AB}=(2,1,0)-(1,0,-1)=(1,1,1)$

$\overrightarrow{AC}=(4,3,-2)-(1,0,-1)=(3,3,-1)$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3+3-1=5$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{19}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{57}}}\approx \mathrm{0,6623}$

El coseno del ángulo que forman los dos vectores es ${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{57}}}\approx \mathrm{0,66}$, lo que corresponde a un ángulo de unos ${\mathrm{48,5}}^{\circ }$.



El punto medio de un segmento es la semisuma de los extremos, coordenada a coordenada.

$M={\displaystyle \frac{A+C}{2}}=({\displaystyle \frac{1+4}{2}},{\displaystyle \frac{0+3}{2}},{\displaystyle \frac{-1-2}{2}})$

$M({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}})$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathit{D}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En un paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio, de modo que $M$, que ya es el punto medio de $AC$, tiene que serlo también de $BD$.

$M={\displaystyle \frac{B+D}{2}}\Rightarrow D=2M-B$

$D=2({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}})-(2,1,0)=(5,3,-3)-(2,1,0)=(3,2,-3)$

Se llega al mismo resultado con los vectores: en el paralelogramo $ABCD$ los lados $AD$ y $BC$ son opuestos, así que $D=A+\overrightarrow{BC}=(1,0,-1)+(2,2,-2)=(3,2,-3)$.

El cuarto vértice es $D(3,2,-3)$.





El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de dos lados concurrentes.

$\overrightarrow{AD}=(3,2,-3)-(1,0,-1)=(2,2,-2)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& -2\end{array}\mid =(-4,4,0)$

$\mathcal{A}=\mathrm{\mid }(-4,4,0)\mathrm{\mid }=\sqrt{16+16+0}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx \mathrm{5,66}$

El área del paralelogramo es $4\sqrt{2}\approx \mathrm{5,66}$ unidades de área.