Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Está gestionando un puesto de comida y bebidas en un partido de baloncesto. Vende frankfurts, hamburguesas y refrescos. Cada frankfurt cuesta 3,50 €, cada hamburguesa cuesta 4 € y cada refresco cuesta 1,50 €. Al final de la noche le piden informar de cuántos frankfurts, hamburguesas y refrescos se han vendido.

a) ¿Podría informar de ello sabiendo que ha hecho un total de 328 € y que ha vendido 132 artículos entre frankfurts, hamburguesas y refrescos? Justifique la respuesta. [1 punto]

b) Si, además, sabemos que se han vendido 20 hamburguesas, ¿cuántos frankfurts y cuántos refrescos se han vendido? [1,5 puntos]

Llamamos $x$ al número de frankfurts vendidos, $y$ al de hamburguesas y $z$ al de refrescos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{informar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ello}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{hecho}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{328}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{132}}\mathbf{\text{art}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{frankfurts,}}\mathbf{\text{hamburguesas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{refrescos?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cada dato del enunciado da una ecuación: la recaudación total y el número de artículos.

$\{\begin{array}{l}\mathrm{3,5}x+4y+\mathrm{1,5}z=328\\ x+y+z=132\end{array}$

Tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas, así que el rango de las matrices no puede pasar de 2. Comprobamos que vale exactamente 2:

$\mid \begin{array}{cc}\mathrm{3,5}& 4\\ 1& 1\end{array}\mid =\mathrm{3,5}-4=-\mathrm{0,5}\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad. Tomando $y=\lambda$ como parámetro y resolviendo:

$\{\begin{array}{l}\mathrm{3,5}x+\mathrm{1,5}z=328-4\lambda \\ x+z=132-\lambda \end{array}\Rightarrow x=65-{\displaystyle \frac{5\lambda }{4}},z=67+{\displaystyle \frac{\lambda }{4}}$

No, con esos dos datos no se puede informar: el sistema tiene infinitas soluciones y hay muchos repartos distintos compatibles con una recaudación de 328 € y 132 artículos. Haría falta un dato más.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si,}}\mathbf{\text{adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{hamburguesas,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{frankfurts}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{refrescos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{vendido?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conocer $y=20$ elimina el grado de libertad y deja un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

$\{\begin{array}{l}\mathrm{3,5}x+4\cdot 20+\mathrm{1,5}z=328\\ x+20+z=132\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{3,5}x+\mathrm{1,5}z=248\\ x+z=112\end{array}$

Despejamos $z$ de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

$z=112-x$

$\mathrm{3,5}x+\mathrm{1,5}(112-x)=248$

$\mathrm{3,5}x+168-\mathrm{1,5}x=248\Rightarrow 2x=80\Rightarrow x=40$

$z=112-40=72$

Se han vendido 40 frankfurts y 72 refrescos, que junto con las 20 hamburguesas dan los 132 artículos y una recaudación de $40\cdot \mathrm{3,5}+20\cdot 4+72\cdot \mathrm{1,5}=328$ €.