Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Cuestión 4.

a) [1,5 p.] Calcule la integral indefinida ${\displaystyle \int x\mathrm{sen}(x^2)dx}$ utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitucion).

b) [1 p.] Determine el menor valor de $a>0$ para el cual se cumple ${\displaystyle {\int }_0^{a}x\mathrm{sen}(x^2)dx=1}$.

En el integrando aparece $x$, que salvo una constante es la derivada de $x^2$, así que hacemos ese cambio.

$u=x^2\Rightarrow du=2xdx\Rightarrow xdx={\displaystyle \frac{du}{2}}$

$\int x\mathrm{sen}(x^2)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int \mathrm{sen}udu=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos u+C$

Deshacemos el cambio:

$\int x\mathrm{sen}(x^2)dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos (x^2)+C$

Lo comprobamos derivando por la regla de la cadena: ${(-\frac{1}{2}\cos (x^2))}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(x^2)\cdot 2x=x\mathrm{sen}(x^2)$.



Aplicamos la regla de Barrow con la primitiva anterior, teniendo en cuenta que $\cos 0=1$.

${\int }_0^{a}x\mathrm{sen}(x^2)dx={[-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos (x^2)]}_0^a={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\cos (a^2))$

Imponemos la condición del enunciado:

${\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\cos (a^2))=1\Rightarrow \cos (a^2)=-1$

El coseno vale $-1$ en los ángulos $a^2=(2k+1)\pi$, y el menor valor positivo corresponde a $k=0$.

$a^2=\pi \Rightarrow a=\sqrt{\pi }$

El menor valor pedido es $a=\sqrt{\pi }\approx \mathrm{1,77}$: es la abscisa hasta la que el recinto bajo la curva mide exactamente una unidad cuadrada.