Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Pregunta 5.1. (2 puntos) Sea $f(x)=\ln (x)$. Halle el área de la región acotada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y la recta $x=e$.

Antes de integrar hay que delimitar el recinto, y para eso localizamos el corte de la curva con el eje de abscisas.

$\ln (x)=0\Rightarrow x=1$

La función está definida para $x>0$ y es positiva a partir de $x=1$, así que la región acotada por la curva, el eje $OX$ y la recta $x=e$ queda entre las abscisas $x=1$ y $x=e$, por encima del eje.



$\mathcal{A}={\int }_1^e\ln (x)dx$

Calculamos una primitiva por partes, tomando $u=\ln (x)$ y $dv=dx$.

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-\int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=x\ln (x)-x$

Aplicando la regla de Barrow entre los dos extremos:

$\mathcal{A}=[x\ln (x)-x{]}_1^e=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)$

$\mathcal{A}=0-(-1)=1$

El área de la región pedida es de 1 unidad de superficie.