Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

QUINTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(5A) Calcula las dos integrales siguientes:

(a) (1,25 puntos) $\int (2x+5)e^{2x}dx\mathrm{.}$
(b) (1,25 puntos) $\int {\displaystyle \frac{x+7}{x^2+10x+25}}dx\mathrm{.}$

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, de modo que se resuelve por partes tomando como $u$ el polinomio, que al derivarse desaparece.

$\{\begin{array}{l}u=2x+5\Rightarrow du=2dx\\ dv=e^{2x}dx\Rightarrow v={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}\end{array}$

$\int udv=uv-\int vdu$

$\int (2x+5)e^{2x}dx=(2x+5){\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}-\int {\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}\cdot 2dx$

$={\displaystyle \frac{(2x+5)e^{2x}}{2}}-\int e^{2x}dx={\displaystyle \frac{(2x+5)e^{2x}}{2}}-{\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}+C$

Sacando factor común:

$={\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}(2x+5-1)={\displaystyle \frac{e^{2x}(2x+4)}{2}}=(x+2)e^{2x}+C$



El denominador es un cuadrado perfecto, lo que simplifica mucho la integral:

$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$

Hacemos el cambio de variable $u=x+5$, con lo que $x+7=u+2$ y $du=dx$:

$\int {\displaystyle \frac{x+7}{(x+5{)}^2}}dx=\int {\displaystyle \frac{u+2}{u^2}}du=\int ({\displaystyle \frac{1}{u}}+{\displaystyle \frac{2}{u^2}})du$

Las dos integrales que quedan son inmediatas:

$=\ln \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{2}{u}}+C$

Deshaciendo el cambio:

$\int {\displaystyle \frac{x+7}{x^2+10x+25}}dx=\ln \mathrm{\mid }x+5\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{2}{x+5}}+C$