Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Ejercicio 5A (2,5 puntos)

Calcula las dos integrales siguientes:

(a) (1,25 puntos) $\int 2x\cos (2x+5)dx$.

(b) (1,25 puntos) $\int {\displaystyle \frac{x+495}{x^2-2025}}dx$.

El integrando es el producto de un polinomio por una función trigonométrica, así que se resuelve por partes. Se elige como $u$ el polinomio, porque al derivarlo baja de grado y desaparece.

$\{\begin{array}{l}u=2x\Rightarrow du=2dx\\ dv=\cos (2x+5)dx\Rightarrow v={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2x+5)\end{array}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$\int udv=uv-\int vdu$

$\int 2x\cos (2x+5)dx=2x\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2x+5)-\int {\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2x+5)\cdot 2dx$

$=x\sin (2x+5)-\int \sin (2x+5)dx$

La integral que queda es inmediata:

$\int \sin (2x+5)dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos (2x+5)$

$\int 2x\cos (2x+5)dx=x\sin (2x+5)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos (2x+5)+C$



Es el cociente de dos polinomios con el numerador de grado menor que el denominador, así que se descompone en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador, que es una diferencia de cuadrados:

$x^2-2025=x^2-{45}^2=(x-45)(x+45)$

${\displaystyle \frac{x+495}{(x-45)(x+45)}}={\displaystyle \frac{M}{x-45}}+{\displaystyle \frac{N}{x+45}}$

Quitando denominadores:

$x+495=M(x+45)+N(x-45)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=45:540=90M\Rightarrow M=6$

$x=-45:450=-90N\Rightarrow N=-5$

La integral se convierte así en dos logaritmos inmediatos:

$\int {\displaystyle \frac{x+495}{x^2-2025}}dx=\int {\displaystyle \frac{6}{x-45}}dx-\int {\displaystyle \frac{5}{x+45}}dx$

$=6\ln \mathrm{\mid }x-45\mathrm{\mid }-5\ln \mathrm{\mid }x+45\mathrm{\mid }+C$