Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Pregunta 4: Sentido de la medida (2 puntos)

Opción 4.2.

a) (1,5 ptos.) Calcule la integral indefinida ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x(\ln x{)}^2}}dx}$.

b) (0,5 ptos.) Determine la primitiva de la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x(\ln x{)}^2}}$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas $(e,1)$.

En el integrando aparecen a la vez $\ln x$ y su derivada ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, lo que aconseja resolverla por cambio de variable.

$t=\ln x\Rightarrow dt={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x(\ln x{)}^2}}dx=\int {\displaystyle \frac{dt}{t^2}}=\int t^{-2}dt}$

Integramos como una potencia y deshacemos el cambio:

${\displaystyle \int t^{-2}dt={\displaystyle \frac{t^{-1}}{-1}}+C=-{\displaystyle \frac{1}{t}}+C}$

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x(\ln x{)}^2}}dx=-{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}+C}$

Comprobamos el resultado derivando por la regla de la cadena:

${(-(\ln x{)}^{-1})}^{\mathrm{\prime }}=(\ln x{)}^{-2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{x(\ln x{)}^2}}$

La familia de primitivas es, pues, $-{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}+C$, con $C$ constante arbitraria.



De todas las primitivas obtenidas en el apartado anterior hay que quedarse con la que cumple $F(e)=1$; esa condición fija el valor de la constante.

$F(x)=-{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}+C$

$1=-{\displaystyle \frac{1}{\ln e}}+C=-1+C$

$C=2$

La primitiva pedida es $F(x)=-{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}+2$, cuya gráfica pasa efectivamente por el punto $(e,1)$.