Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Cuestión 4.

Considere la función $f(x)=x\ln (x)$, definida para $x>0$.
a) [1 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine sus intervalos de crecimiento y/o decrecimiento.
b) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.
c) [0,5 p.] Determine la primitiva de la función $f(x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas $(1,0)$.

Derivamos por la regla del producto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln x+x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x+1$

$\ln x+1=0\Rightarrow \ln x=-1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{e}}$

Como el logaritmo es creciente, la derivada es negativa a la izquierda de ese punto y positiva a la derecha.



La función decrece en $(0,{\displaystyle \frac{1}{e}})$ y crece en $({\displaystyle \frac{1}{e}},+\mathrm{\infty })$, con un mínimo en $x={\displaystyle \frac{1}{e}}$.





El integrando es un producto de polinomio por logaritmo, así que integramos por partes derivando el logaritmo.

$u=\ln x\Rightarrow du={\displaystyle \frac{dx}{x}},dv=xdx\Rightarrow v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

$\int x\ln xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int xdx$

$\int x\ln xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+C$



Imponemos $F(1)=0$ en la familia anterior, recordando que $\ln 1=0$.

$0-{\displaystyle \frac{1}{4}}+C=0\Rightarrow C={\displaystyle \frac{1}{4}}$

La primitiva pedida es $F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$.