Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Ejercicio A3
Sea la función $f(x)=x^4-2x^3+x^2$. Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y encuentra sus máximos y mínimos relativos. Calcula la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=2$.

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{relativos.}}$

La función es polinómica, luego está definida y es derivable en todo $\mathbb{R}$. El crecimiento se estudia con el signo de la derivada, así que la factorizamos.

$f(x)=x^4-2x^3+x^2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-6x^2+2x=2x(2x^2-3x+1)$

$2x^2-3x+1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{4}}={\displaystyle \frac{3\pm 1}{4}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x(x-1)(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1}{2}\\ x=1\end{array}$

Estos tres puntos dividen la recta real en cuatro intervalos. Se hace un estudio de signos evaluando la derivada en un punto de cada uno:

$\begin{array}{ccccc}& (-\mathrm{\infty },0)& (0,\frac{1}{2})& (\frac{1}{2},1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& +& -& +\\ f(x)& \searrow & \nearrow & \searrow & \nearrow \end{array}$

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(-1)=-4\cdot (-2)\cdot (-\frac{3}{2})=-12<0\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{4}\right)=1\cdot (-\frac{3}{4})\cdot (-\frac{1}{4})=\frac{3}{16}>0\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{3}{4}\right)=3\cdot (-\frac{1}{4})\cdot \frac{1}{4}=-\frac{3}{16}<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(2)=8\cdot 1\cdot \frac{3}{2}=12>0\end{array}$

La función es creciente en $(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y decreciente en $(-\mathrm{\infty },0)\cup ({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$.

Donde la derivada pasa de negativa a positiva hay un mínimo, y donde pasa de positiva a negativa, un máximo:

$f(0)=0,f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{2}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{16}},f(1)=1-2+1=0$

Hay mínimos relativos en $(0,0)$ y $(1,0)$, y un máximo relativo en $({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{16}})$.





La tangente pasa por el punto de la gráfica y tiene por pendiente el valor de la derivada en esa abscisa.

$f(2)=16-16+4=4$

$m=f^{\mathrm{\prime }}(2)=4\cdot 2\cdot 1\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=12$

Aplicamos la ecuación punto-pendiente:

$y-4=12(x-2)\Rightarrow y=12x-20$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=2$ es $y=12x-20$.