Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Ejercicio B1
Calcula el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $\alpha$, siendo
$A=\left(\begin{array}{cccc}\alpha & 0& \alpha & 0\\ 3& \alpha & 0& \alpha \\ 0& 1& -1& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{.}}$

La matriz es de orden $3\times 4$, luego su rango vale como mucho $3$. Para decidirlo buscamos un menor de orden tres que no se anule. Empezamos por el de las tres últimas columnas, que es el más sencillo porque la primera fila tiene ahí dos ceros.

$\mid \begin{array}{ccc}0& \alpha & 0\\ \alpha & 0& \alpha \\ 1& -1& 2\end{array}\mid =-\alpha \mid \begin{array}{cc}\alpha & \alpha \\ 1& 2\end{array}\mid =-\alpha (2\alpha -\alpha )=-{\alpha }^2$

$-{\alpha }^2=0\iff \alpha =0$

Distinguimos los dos casos.

i) Si $\alpha \mathrm{\ne }0$, ese menor no se anula, luego existe un menor de orden tres distinto de cero y el rango es máximo.

$\text{rg}(A)=3$

ii) Si $\alpha =0$, la matriz queda:

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 2\end{array}\right)$

La primera fila es entera de ceros, de modo que cualquier menor de orden tres que la contenga se anula, y no hay otra forma de elegir tres filas. El rango es, por tanto, menor que $3$. Basta encontrar un menor de orden dos no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{rg}(A)=2$

El rango de $A$ es $3$ para todo $\alpha \mathrm{\ne }0$, y es $2$ cuando $\alpha =0$.