Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2026

Sea $y=f(x)$ la función positiva que cumple la ecuación $(x-1{)}^2+y^2=1$.

a) Exprese $y$ en función de $x$ y demuestre que existe un punto $c$ en su dominio tal que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=-1$. Enuncie el resultado teórico utilizado, y justifique su uso.

b) ¿Cuánto vale el área comprendida entre la curva $y=f(x)$ y el eje $OX$?

Despejamos $y$ de la ecuación y nos quedamos con la raíz positiva, que es la que pide el enunciado:

$(x-1{)}^2+y^2=1\Rightarrow y^2=1-(x-1{)}^2=2x-x^2\Rightarrow y=f(x)=\sqrt{2x-x^2}$

El radicando ha de ser no negativo, $2x-x^2=x(2-x)\ge 0$, luego el dominio es $[0,2]$. Se trata de la semicircunferencia superior de centro $C(1,0)$ y radio 1.



El resultado teórico que usamos es el teorema del valor medio de Lagrange: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $c\in (a,b)$ tal que

$f^{\mathrm{\prime }}(c)={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Lo aplicamos en el intervalo $[1,2]$. Ahí $f$ es continua, por ser composición de funciones continuas con radicando no negativo, y es derivable en $(1,2)$, porque en el interior el radicando es estrictamente positivo:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}}={\displaystyle \frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}}$

Como $f(1)=\sqrt{2-1}=1$ y $f(2)=\sqrt{4-4}=0$, el teorema garantiza que existe $c\in (1,2)$ con

$f^{\mathrm{\prime }}(c)={\displaystyle \frac{f(2)-f(1)}{2-1}}={\displaystyle \frac{0-1}{1}}=-1$

Existe, pues, un punto $c$ del dominio en el que la derivada vale $-1$. Resolviendo la ecuación se comprueba que es $c=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{1,71}$, que en efecto pertenece a $(1,2)$.



La curva es la mitad superior de la circunferencia de radio 1, y es positiva en todo $(0,2)$, así que el recinto que cierra con el eje $OX$ es medio círculo de radio 1:

$A={\displaystyle \frac{\pi \cdot 1^2}{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx \mathrm{1,5708}{\text{u}}^2$

Si se prefiere calcularla por integración, el cambio $x-1=\sin u$ conduce al mismo valor:

$A={\displaystyle {\int }_0^2\sqrt{2x-x^2}dx={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2}udu={[{\displaystyle \frac{u}{2}}+{\displaystyle \frac{\sin (2u)}{4}}]}_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$

El área comprendida entre la curva y el eje $OX$ es de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx \mathrm{1,5708}$ unidades cuadradas.