Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2025

Sea $f(x)=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot x)\cdot \ln (x^2+x-5)$.

a) Demuestre que $f$ es continua en $[2,3]$. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existe un punto $c$ en $(2,3)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$. Enuncie el resultado teórico utilizado, y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathit{f}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La función es el producto de un coseno, continuo en todo $\mathbb{R}$, por un logaritmo, que es continuo donde su argumento es positivo. Estudiamos el argumento en $[2,3]$:

$g(x)=x^2+x-5$ es una parábola con vértice en $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, de modo que es creciente en $[2,3]$.

$g(2)=4+2-5=1>0g(3)=9+3-5=7>0$

Al ser creciente y valer 1 en el extremo izquierdo, $g(x)\ge 1>0$ en todo $[2,3]$, luego $\ln (x^2+x-5)$ está definido y es continuo ahí. Por ser producto de funciones continuas, $f$ es continua en $[2,3]$.



El resultado que se aplica es el teorema de Rolle: si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, entonces existe algún $c\in (a,b)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

Comprobamos las tres hipótesis en $[2,3]$.

i) La continuidad ya está probada en el apartado anterior.

ii) Por el mismo motivo —el argumento del logaritmo no se anula en $[2,3]$— la función es derivable en $(2,3)$, por ser producto y composición de funciones derivables:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)\ln (x^2+x-5)+\cos \left(\frac{\pi }{2}x\right){\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x-5}}$

iii) Los valores en los extremos coinciden, y los dos son cero, aunque por motivos distintos:

$f(2)=\cos (\pi )\cdot \ln (1)=(-1)\cdot 0=0$

$f(3)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)\cdot \ln (7)=0\cdot \ln 7=0$

Se cumplen las tres hipótesis, así que el teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un punto $c\in (2,3)$ en el que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$, que es lo que se quería demostrar.