Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2026

Sea $f(x)={\log }_2(x\cdot (\sin (\pi x)+2))$. Demuestre que existe un punto $c$ en $[2,4]$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(c)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Se trata de una aplicación directa del teorema del valor medio de Lagrange, que asegura que si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $c\in (a,b)$ con

$f^{\mathrm{\prime }}(c)={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

i) Comprobamos las hipótesis en $[2,4]$. El argumento del logaritmo es positivo en todo el intervalo, porque

$x\ge 2>0\text{y}\sin (\pi x)+2\ge -1+2=1>0\Rightarrow x(\sin (\pi x)+2)>0$

Al no anularse nunca el argumento, $f$ es composición de funciones continuas y derivables en $[2,4]$: es continua en $[2,4]$ y derivable en $(2,4)$.

ii) Calculamos el valor de la función en los extremos, teniendo en cuenta que el seno se anula en los múltiplos enteros de $\pi$:

$f(2)={\log }_2(2(\sin (2\pi )+2))={\log }_2(2\cdot 2)={\log }_{2}4=2$

$f(4)={\log }_2(4(\sin (4\pi )+2))={\log }_2(4\cdot 2)={\log }_{2}8=3$

iii) El teorema garantiza entonces que existe $c\in (2,4)$ tal que

$f^{\mathrm{\prime }}(c)={\displaystyle \frac{f(4)-f(2)}{4-2}}={\displaystyle \frac{3-2}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Existe, pues, al menos un punto $c$ del intervalo $[2,4]$ en el que $f^{\mathrm{\prime }}(c)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, que es lo que se quería demostrar.