Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}$.

a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]

b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=\pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule las asíntotas. [0,5 puntos]

d) Calcule ${\lim }_{x\to 0}f(x)$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}\mathbf{\text{primera.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\cos x\cdot x-\mathrm{sen}x\cdot 1}{x^2}}={\displaystyle \frac{x\cos x-\mathrm{sen}x}{x^2}}$



La pendiente de la tangente es el valor de la derivada en ese punto, y en $\pi$ el seno se anula y el coseno vale $-1$.

$m=f^{\mathrm{\prime }}(\pi )={\displaystyle \frac{\pi \cos \pi -\mathrm{sen}\pi }{{\pi }^2}}={\displaystyle \frac{-\pi -0}{{\pi }^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{\pi }}\approx -\mathrm{0,3183}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El único punto fuera del dominio es $x=0$, así que empezamos por él.



El límite es finito, de modo que en $x=0$ hay una discontinuidad evitable y no una asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. El numerador está acotado entre $-1$ y $1$ mientras el denominador crece sin límite:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{x}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en los dos infinitos, no puede haber oblicua. La única asíntota de $f$ es $y=0$.





Es el límite ya calculado en el apartado anterior, uno de los límites notables de la trigonometría.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{x}}=1$

Se llega a lo mismo sin L'Hôpital: para valores pequeños de $x$ el seno y el arco son infinitésimos equivalentes.