Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x}}$.

a) Calcule la derivada primera de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=2$. [0,5 puntos]

c) Calcule las asíntotas verticales de $f(x)$. [0,5 puntos]

d) Calcule las asíntotas horizontales de $f(x)$. [1 punto]

Aplicamos la regla del cociente y sacamos factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}}={\displaystyle \frac{e^x(x-1)}{x^2}}$



La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en ese punto.

$m=f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{e^2(2-1)}{2^2}}={\displaystyle \frac{e^2}{4}}\approx \mathrm{1,8473}$

La pendiente de la recta tangente en $x=2$ es ${\displaystyle \frac{e^2}{4}}\approx \mathrm{1,8473}$.



La función es un cociente, y el único punto que queda fuera del dominio es el cero del denominador.

$\text{Dom }f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$

${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

Los dos límites laterales son infinitos, luego $x=0$ es asíntota vertical, y es la única.



Hay que estudiar el comportamiento en los dos infinitos, y sale distinto en cada uno.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}={\displaystyle \frac{0}{-\mathrm{\infty }}}=0$

porque la exponencial tiende a cero mientras el denominador crece en valor absoluto. Por tanto $y=0$ es asíntota horizontal por la izquierda.



de modo que por la derecha no hay asíntota horizontal: la exponencial es un infinito de orden superior al de $x$.



La única asíntota horizontal es $y=0$, y solo por la izquierda.