Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Aragón · 2020

Se considera la siguiente función $f(x)=\ln (2x+1)$

a) Estudie su dominio, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]

b) Halle la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El logaritmo neperiano solo está definido para argumentos estrictamente positivos.

$2x+1>0\Rightarrow x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \text{ Dom}f=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},+\mathrm{\infty })$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2}{2x+1}}$

La derivada no se anula nunca, porque su numerador es la constante 2, así que no hay puntos críticos ni extremos relativos. Su signo lo decide el denominador, que en el dominio es positivo por definición:

$x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow 2x+1>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2}{2x+1}}>0$

La función es creciente en todo su dominio, $(-\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$, y no decrece en ningún intervalo.



El punto $x=\frac{1}{2}$ pertenece al dominio, así que la tangente existe. La recta pasa por el punto de la curva y su pendiente es la derivada en él.

$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=\ln (2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+1)=\ln 2$

$f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{2}{2\cdot \frac{1}{2}+1}}={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$

$y-\ln 2=1\cdot (x-{\displaystyle \frac{1}{2}})\Rightarrow y=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\ln 2$



La recta tangente a la curva en el punto $(\frac{1}{2},\ln 2)$ es $y=x-\frac{1}{2}+\ln 2$.