Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Aragón · 2022

Para la siguiente función:

$f(x)={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x^2}}$

a) Obtenga el dominio de definición y estudie su crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

b) Analice la curvatura (concavidad $=\cap$ y convexidad $=\cup$) y la existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición. Obtenga los puntos de inflexión caso de existir. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es una función racional, de modo que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \text{ Dom}f=\mathbb{R}-\{0\}$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada, que se calcula con la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x-1)x^2-(x-1{)}^2\cdot 2x}{x^4}}={\displaystyle \frac{2x(x-1)-2(x-1{)}^2}{x^3}}={\displaystyle \frac{2(x-1)[x-(x-1)]}{x^3}}={\displaystyle \frac{2(x-1)}{x^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2(x-1)=0\Rightarrow x=1$

Los puntos que separan los intervalos de signo constante son ese y el que anula el denominador, $x=0$, que además queda fuera del dominio. Evaluamos la derivada en un punto de cada intervalo:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{-4}{-1}}=4>0;f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{-1}{\frac{1}{8}}}=-8<0;f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{2}{8}}>0$



La función es creciente en $(-\mathrm{\infty },0)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y decreciente en $(0,1)$. Como pasa de decrecer a crecer, en $x=1$ hay un mínimo relativo, de valor $f(1)=0$.



La curvatura la da el signo de la segunda derivada: positiva significa convexa $(\cup )$ y negativa, cóncava $(\cap )$. Escribimos la primera derivada como suma de potencias para derivarla con comodidad.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x-1)}{x^3}}=2x^{-2}-2x^{-3}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4x^{-3}+6x^{-4}={\displaystyle \frac{-4x+6}{x^4}}={\displaystyle \frac{6-4x}{x^4}}$

El denominador es una potencia par, luego es positivo en todo el dominio y el signo de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ depende solo del numerador.

$6-4x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}$

$x<{\displaystyle \frac{3}{2}}(x\mathrm{\ne }0):f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es convexa }(\cup )$

$x>{\displaystyle \frac{3}{2}}:f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{es c}\acute{\text{o}}\text{ncava}(\cap )$

Hay que dejar fuera el origen, que no pertenece al dominio, aunque la segunda derivada no cambie de signo al atravesarlo. En $x=\frac{3}{2}$ sí se anula y cambia de signo, así que ahí hay un punto de inflexión. Calculamos su ordenada:

$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{{(\frac{3}{2}-1)}^2}{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$

La función es convexa en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\frac{3}{2})$ y cóncava en $(\frac{3}{2},+\mathrm{\infty })$, y tiene un único punto de inflexión, el $(\frac{3}{2},\frac{1}{9})$.