Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

a) [1 punto] Sea la función $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+x-1$, con $a,b\in \mathbb{R}$. Determine los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(1,1)$ y tenga aquí un punto de inflexión.

b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x)=x\mathrm{sen}(x)-\cos (x)$. Enuncie el teorema de Rolle y úselo para razonar si la función $f(x)$ tiene al menos un extremo relativo en el intervalo $[-1,1]$.

Traducimos a ecuaciones las dos condiciones. Necesitamos la derivada segunda, que es la que detecta los puntos de inflexión.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+1,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6ax+2b$

i) La gráfica pasa por $(1,1)$, luego $f(1)=1$:

$a+b+1-1=1\Rightarrow a+b=1$

ii) En $x=1$ hay un punto de inflexión, luego $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0$:

$6a+2b=0\Rightarrow 3a+b=0$

Restando la primera ecuación de la segunda, $2a=-1\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, y de ahí $b=1-a={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Comprobamos que la inflexión es verdadera: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6a=-3\mathrm{\ne }0$, de modo que la derivada segunda cambia de signo en $x=1$.

Los valores pedidos son $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $b={\displaystyle \frac{3}{2}}$.



Enunciado del teorema: si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, derivable en el abierto $(a,b)$ y toma el mismo valor en los extremos, $f(a)=f(b)$, entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ en el que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

Comprobamos las tres hipótesis.

i) $f$ es suma y producto de funciones continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$, luego lo es en $[-1,1]$ y en $(-1,1)$.

ii) Evaluamos en los extremos, recordando que el seno es impar y el coseno par:

$f(-1)=(-1)\mathrm{sen}(-1)-\cos (-1)=\mathrm{sen}(1)-\cos (1)$

$f(1)=1\cdot \mathrm{sen}(1)-\cos (1)=\mathrm{sen}(1)-\cos (1)$

$f(-1)=f(1)$

Se cumplen las hipótesis, así que existe al menos un $c\in (-1,1)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$. Ese punto es candidato a extremo relativo; veamos que lo es.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{sen}(x)+x\cos (x)+\mathrm{sen}(x)=2\mathrm{sen}(x)+x\cos (x)$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0+0=0$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=3\cos (x)-x\mathrm{sen}(x)\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=3>0$

Sí: la función tiene al menos un extremo relativo en $[-1,1]$, concretamente un mínimo relativo en $x=0$, de valor $f(0)=-1$.