Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+2x-2}{3x^2+3}}$.

a) [1,5 puntos] Halle razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifíquelos.

b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$.

El denominador $3x^2+3=3(x^2+1)$ no se anula nunca, así que la función es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Derivamos por la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(4x+2)(3x^2+3)-(2x^2+2x-2)6x}{{(3x^2+3)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{12x^3+12x+6x^2+6-12x^3-12x^2+12x}{9{(x^2+1)}^2}}={\displaystyle \frac{-6x^2+24x+6}{9{(x^2+1)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(-x^2+4x+1)}{3{(x^2+1)}^2}}$

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el del trinomio del numerador.

$-x^2+4x+1=0\Rightarrow x^2-4x-1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}}=2\pm \sqrt{5}$



Un trinomio con el coeficiente principal negativo es negativo fuera de sus raíces y positivo entre ellas, así que la función decrece, crece y vuelve a decrecer. Por tanto:

En $x=2-\sqrt{5}\approx -\mathrm{0,2361}$ la función pasa de decreciente a creciente: hay un mínimo relativo.

En $x=2+\sqrt{5}\approx \mathrm{4,2361}$ pasa de creciente a decreciente: hay un máximo relativo.

Calculamos las ordenadas correspondientes:

$f(2-\sqrt{5})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}\approx -\mathrm{0,7454},f(2+\sqrt{5})={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}\approx \mathrm{0,7454}$

La función tiene un mínimo relativo en $(2-\sqrt{5},-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}})\approx (-\mathrm{0,2361};-\mathrm{0,7454})$ y un máximo relativo en $(2+\sqrt{5},{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}})\approx (\mathrm{4,2361};\mathrm{0,7454})$.



Necesitamos la ordenada del punto y la pendiente, que es el valor de la derivada.

$f(1)={\displaystyle \frac{2+2-2}{3+3}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{2(-1+4+1)}{3\cdot (1+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Recta tangente, por la ecuación punto-pendiente:

$y-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(x-1)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{2x-1}{3}}$

La recta normal es perpendicular a la tangente en ese punto, así que su pendiente es la opuesta de la inversa.

$m_n=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(1)}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$y-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-1)\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{11}{6}}$

La recta tangente es $y={\displaystyle \frac{2x-1}{3}}$ y la recta normal, $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{11}{6}}$.