Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Halle $a>0$ y $b>0$ sabiendo que la gráfica de la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)={\displaystyle \frac{b{x}^2}{1+a{x}^4}}$ tiene en el punto $(1,2)$ un punto crítico. [2,5 puntos]

Que $(1,2)$ sea un punto crítico de la gráfica significa dos cosas: que la curva pasa por él y que la derivada se anula ahí. Cada condición da una ecuación.

De la primera:

$f(1)={\displaystyle \frac{b}{1+a}}=2\Rightarrow b=2(1+a)$

Derivamos con la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2bx(1+a{x}^4)-b{x}^2\cdot 4a{x}^3}{{(1+a{x}^4)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{2bx+2ab{x}^5-4ab{x}^5}{{(1+a{x}^4)}^2}}={\displaystyle \frac{2bx(1-a{x}^4)}{{(1+a{x}^4)}^2}}$

Imponemos la segunda condición:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{2b(1-a)}{{(1+a)}^2}}=0$

Una fracción se anula cuando lo hace su numerador. Como el enunciado exige $b>0$, se descarta $b=0$ y queda:

$1-a=0\Rightarrow a=1$

$b=2(1+1)=4$

Ambos valores cumplen la restricción de ser positivos. Comprobamos el resultado en $f(x)={\displaystyle \frac{4x^2}{1+x^4}}$: efectivamente $f(1)={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$ y $f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$.

Los valores pedidos son $a=1$ y $b=4$.