Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=e^x(x^2-5x+6)$. Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica. [2,5 puntos]

La curvatura la decide el signo de la derivada segunda, así que derivamos dos veces con la regla del producto, sacando en cada paso factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x(x^2-5x+6)+e^x(2x-5)=e^x(x^2-3x+1)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x(x^2-3x+1)+e^x(2x-3)=e^x(x^2-x-2)$

Factorizamos el trinomio para leer el signo de un vistazo:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x(x-2)(x+1)$

$e^x(x-2)(x+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}$

La exponencial es siempre positiva, de modo que el signo lo pone la parábola $(x-2)(x+1)$, que es negativa entre sus raíces y positiva fuera:



En los dos valores la derivada segunda cambia de signo, luego ambos son puntos de inflexión. Calculamos sus ordenadas:

$f(-1)=e^{-1}(1+5+6)={\displaystyle \frac{12}{e}}\approx \mathrm{4,41}$

$f(2)=e^2(4-10+6)=0$

La función es convexa en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y cóncava en $(-1,2)$, con puntos de inflexión en $(-1,{\displaystyle \frac{12}{e}})$ y $(2,0)$.