Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sea $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{2-\cos x}}$.

a) Halle los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2 puntos]

b) Determine la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{absolutos}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{(abscisas}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtienen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanzan).}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El denominador $2-\cos x$ está siempre entre $1$ y $3$, luego no se anula y la función es continua y derivable en todo el intervalo cerrado $[0,2\pi ]$. Por el teorema de Weierstrass los extremos absolutos existen, y hay que buscarlos entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\cos x(2-\cos x)-\mathrm{sen}x\cdot \mathrm{sen}x}{{(2-\cos x)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{2\cos x-{\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x}{{(2-\cos x)}^2}}={\displaystyle \frac{2\cos x-1}{{(2-\cos x)}^2}}$

El denominador es un cuadrado positivo, así que el signo lo pone el numerador:

$2\cos x-1=0\Rightarrow \cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{3}},x={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$



Calculamos el valor de la función en los dos puntos críticos y en los extremos del intervalo:

$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2-\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}};f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{5\pi }{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

$f(0)={\displaystyle \frac{0}{2-1}}=0;f(2\pi )={\displaystyle \frac{0}{2-1}}=0$

Comparando los cuatro valores, el mayor es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y el menor $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

La función alcanza su máximo absoluto en $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, donde vale ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\approx \mathrm{0,577}$, y su mínimo absoluto en $x={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$, donde vale $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$.



La abscisa que se pide es precisamente uno de los puntos críticos, así que la derivada se anula allí y la tangente es horizontal.

$f^{\mathrm{\prime }}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{2\cdot \frac{1}{2}-1}{{(2-\frac{1}{2})}^2}}=0$

$y-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}=0\cdot (x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\Rightarrow y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

La normal es perpendicular a ella. Como la tangente es horizontal, la normal no tiene pendiente definida: es la recta vertical que pasa por el punto.

La recta tangente es $y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ y la recta normal es $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.