Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por

$f(x)=1+{\displaystyle {\int }_0^{x}t{e}^{t}dt\mathrm{.}}$

Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{concavidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{convexidad}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(abscisas}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtienen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanzan).}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La curvatura la decide el signo de la derivada segunda. La primera derivada la da el teorema fundamental del cálculo sin necesidad de integrar, porque el integrando es continuo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x{e}^x$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x+x{e}^x=e^x(1+x)$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo lo pone el paréntesis:

$e^x(1+x)=0\Rightarrow x=-1$



La función es cóncava donde $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}<0$ y convexa donde $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0$, de modo que el cambio de curvatura se produce en $x=-1$ y ahí hay un punto de inflexión. Para dar su ordenada sí hay que integrar, esta vez por partes con $u=t$ y $dv=e^{t}dt$:

${\displaystyle \int t{e}^{t}dt=t{e}^t-\int e^{t}dt=e^t(t-1)}$

${\displaystyle {\int }_0^{-1}t{e}^{t}dt={\left[e^t(t-1)\right]}_0^{-1}=-{\displaystyle \frac{2}{e}}-(-1)=1-{\displaystyle \frac{2}{e}}}$

$f(-1)=1+1-{\displaystyle \frac{2}{e}}=2-{\displaystyle \frac{2}{e}}$

La función es cóncava en $(-\mathrm{\infty },-1)$ y convexa en $(-1,+\mathrm{\infty })$, con un único punto de inflexión en $(-1,2-{\displaystyle \frac{2}{e}})\approx (-1;\mathrm{1,26})$.