Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}$.

a) Estudie y halle los máximos y mínimos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,5 puntos]

b) Calcule ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^{2}f(x))}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{absolutos}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{(abscisas}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtienen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanzan).}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El denominador $e^x+e^{-x}$ es suma de dos exponenciales, siempre positiva, de modo que $f$ está definida y es derivable en todo $\mathbb{R}$ y no se anula nunca. Buscamos los extremos anulando la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-(e^x-e^{-x})}{{(e^x+e^{-x})}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow e^x-e^{-x}=0\Rightarrow e^{2x}=1\Rightarrow x=0$

Como el denominador está elevado al cuadrado, el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el de $-(e^x-e^{-x})$. Para $x<0$ se cumple $e^x<e^{-x}$ y la derivada es positiva; para $x>0$ ocurre lo contrario.



La función crece hasta $x=0$ y decrece después, luego ahí hay un máximo relativo:

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{e^0+e^0}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Al ser el único extremo y no estar el dominio acotado, comprobamos el comportamiento en el infinito:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}=0;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}=0}$

La función alcanza su máximo absoluto en $x=0$, donde vale ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. No tiene mínimo absoluto: es siempre positiva y se acerca a $0$ en las dos ramas, pero ese valor no lo toma en ningún punto.



El límite presenta la indeterminación $\mathrm{\infty }\cdot 0$, que se convierte en $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ sin más que escribir el producto como cociente.

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}})=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{e^x+e^{-x}}}}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital:

${\displaystyle =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x}{e^x-e^{-x}}}}$

La indeterminación persiste, así que la aplicamos de nuevo:

${\displaystyle =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{e^x+e^{-x}}}={\displaystyle \frac{2}{+\mathrm{\infty }}}=0}$

El límite pedido vale $0$: la exponencial es un infinito de orden superior al del polinomio.