Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Sea la función $f:[-2,2]⟶\mathbb{R}$, definida por $f(x)=x^3-2x+5$.

a) Determine las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(-2,f(-2))$ y $(2,f(2))$. [1,5 puntos]

b) Determine la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de inflexión. [1 punto]

Calculamos primero la pendiente de la recta que une los dos extremos del intervalo y después imponemos que la derivada tome ese valor, teniendo cuidado de quedarnos solo con las soluciones que caen dentro de $[-2,2]$.

$f(-2)=(-2{)}^3-2(-2)+5=-8+4+5=1$

$f(2)=2^3-2\cdot 2+5=8-4+5=9$

$m={\displaystyle \frac{9-1}{2-(-2)}}={\displaystyle \frac{8}{4}}=2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2$

$3x^2-2=2\Rightarrow 3x^2=4\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}=\pm {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$

Ambos valores son válidos, porque $\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx \mathrm{1,1547}<2$. Que existan era previsible: $f$ es continua en $[-2,2]$ y derivable en $(-2,2)$, así que el teorema del valor medio garantiza al menos un punto con esa pendiente.

Las abscisas pedidas son $x=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$ y $x={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{tangente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El punto de inflexión se localiza anulando la derivada segunda y comprobando que cambia de signo.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x$

$6x=0\Rightarrow x=0$

La derivada segunda es negativa a la izquierda de $0$ y positiva a la derecha, luego la curvatura cambia y en $x=0$ hay efectivamente un punto de inflexión.

$f(0)=5;f^{\mathrm{\prime }}(0)=3\cdot 0^2-2=-2$

La tangente pasa por $(0,5)$ con pendiente $-2$:

$y-5=-2(x-0)\Rightarrow y=-2x+5$

La normal es perpendicular a ella, luego su pendiente es la opuesta de la inversa:

$m_n=-{\displaystyle \frac{1}{-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$y-5={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-0)$

En el punto de inflexión $(0,5)$, la recta tangente es $y=-2x+5$ y la recta normal es $y={\displaystyle \frac{x}{2}}+5$.