Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función $f(x)=x-\ln (x^2+1)$. [2 puntos]

Los puntos de inflexión son aquellos en los que la curvatura cambia de sentido, es decir, aquellos en los que la derivada segunda se anula y además cambia de signo. Derivamos dos veces.

$f(x)=x-\ln (x^2+1)$

El argumento del logaritmo es siempre positivo, luego el dominio es todo $\mathbb{R}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{x^2+1-2x}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x-1)(x^2+1)-(x-1{)}^2\cdot 2x}{{(x^2+1)}^2}}={\displaystyle \frac{2(x-1)[x^2+1-x(x-1)]}{{(x^2+1)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x-1)(x+1)}{{(x^2+1)}^2}}={\displaystyle \frac{2(x^2-1)}{{(x^2+1)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ lo decide el numerador. Lo comprobamos con un punto de cada intervalo:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-2)={\displaystyle \frac{2\cdot 3}{25}}>0f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{2(-1)}{1}}=-2<0f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{2\cdot 3}{25}}>0$

La derivada segunda cambia de signo en los dos puntos, luego los dos son de inflexión. Calculamos sus ordenadas:

$f(-1)=-1-\ln 2\approx -\mathrm{1,6931}f(1)=1-\ln 2\approx \mathrm{0,3069}$

Los puntos de inflexión de la gráfica son $(-1,-1-\ln 2)$ y $(1,1-\ln 2)$. La función es convexa en $(-\mathrm{\infty },-1)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y cóncava en $(-1,1)$.