Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Resuelva el siguiente sistema matricial:

$\begin{array}{r}5X-4Y=\left(\begin{array}{ccc}5& 6& -1\\ 4& -5& 1\end{array}\right)\\ 4X-6Y=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 6& -4& -2\end{array}\right)\end{array}\}$ [2,5 puntos]

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, solo que las incógnitas son matrices de orden $2\times 3$. Se resuelve por reducción igual que un sistema numérico, cuidando de no dividir por matrices: multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para que los términos en $Y$ sean iguales y se cancelen al restar.

$15X-12Y=3\left(\begin{array}{ccc}5& 6& -1\\ 4& -5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}15& 18& -3\\ 12& -15& 3\end{array}\right)$

$8X-12Y=2\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 6& -4& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}8& 4& 4\\ 12& -8& -4\end{array}\right)$

Restando la segunda de la primera:

$7X=\left(\begin{array}{ccc}15& 18& -3\\ 12& -15& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}8& 4& 4\\ 12& -8& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7& 14& -7\\ 0& -7& 7\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$

Con $X$ ya conocida se despeja $Y$ en la primera ecuación del enunciado.

$4Y=5X-\left(\begin{array}{ccc}5& 6& -1\\ 4& -5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 10& -5\\ 0& -5& 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}5& 6& -1\\ 4& -5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& -4\\ -4& 0& 4\end{array}\right)$

$Y=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la segunda ecuación, que no se ha usado para despejar:

$4X-6Y=\left(\begin{array}{ccc}4& 8& -4\\ 0& -4& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 6& -6\\ -6& 0& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 6& -4& -2\end{array}\right)$

La solución del sistema son las matrices $X=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$ e $Y=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$.