Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Averigüe qué dos matrices de dimensiones $3\times 3$, $X$ e $Y$, verifican las siguientes condiciones:

— La suma de ambas matrices $X$ e $Y$ da como resultado la matriz $I_3$ (siendo $I_3$ la matriz identidad $3\times 3$).

— Siendo $A=\left(\begin{array}{ccc}9& 0& -7\\ 14& -12& 0\\ 0& -7& -5\end{array}\right)$, la matriz traspuesta de $A$ es el resultado de realizar la resta del doble de la matriz $X$ y cinco veces la matriz $Y$.

[2,5 puntos]

Las dos condiciones del enunciado se traducen en un sistema de dos ecuaciones matriciales. La segunda dice que la traspuesta de $A$ es el resultado de restar el doble de $X$ y cinco veces $Y$.

$\{\begin{array}{l}X+Y=I_3\\ 2X-5Y=A^t\end{array}$

Se resuelve por sustitución: de la primera ecuación se despeja $Y$ y se lleva a la segunda, con lo que queda una sola incógnita matricial.

$Y=I_3-X$

$2X-5(I_3-X)=A^t\Rightarrow 2X-5I_3+5X=A^t\Rightarrow 7X=A^t+5I_3$

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}9& 14& 0\\ 0& -12& -7\\ -7& 0& -5\end{array}\right)$

$A^t+5I_3=\left(\begin{array}{ccc}9& 14& 0\\ 0& -12& -7\\ -7& 0& -5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}14& 14& 0\\ 0& -7& -7\\ -7& 0& 0\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{ccc}14& 14& 0\\ 0& -7& -7\\ -7& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& -1& -1\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

$Y=I_3-X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& -1& -1\\ -1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 0\\ 0& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

Comprobamos la segunda condición, que es la que no se ha usado para despejar:

$2X-5Y=\left(\begin{array}{ccc}4& 4& 0\\ 0& -2& -2\\ -2& 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}-5& -10& 0\\ 0& 10& 5\\ 5& 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}9& 14& 0\\ 0& -12& -7\\ -7& 0& -5\end{array}\right)=A^t$

Las matrices buscadas son $X=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& -1& -1\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$ e $Y=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 0\\ 0& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$.