Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Se consideran las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 4& 2\end{array}\right)$; $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& -1\end{array}\right)$

a) Sea la matriz $M=A+c\cdot B$, donde $c$ es un número real cualquiera. Calcule los valores de $c$ de forma que el rango de $M$ sea 1. [1 punto]

b) Sea la matriz $D=A^2+B\cdot A$. Averigüe la matriz $X$ que cumple la siguiente ecuación matricial: $D\cdot X=-30\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$ [1,5 puntos]

Una matriz cuadrada de orden 2 tiene rango 2 cuando su determinante no se anula y rango 1 cuando se anula sin ser la matriz nula. Construimos $M$ y estudiamos su determinante.

$M=A+cB=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 4& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 4c& -c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+c& -1\\ 4+4c& 2-c\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(1+c)(2-c)-(-1)(4+4c)=2-c+2c-c^2+4+4c$

$=-c^2+5c+6=-(c-6)(c+1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=6\\ c=-1\end{array}$

Falta comprobar que en esos dos casos la matriz no es nula, porque entonces el rango sería 0 y no 1.

$c=-1\Rightarrow M=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 3\end{array}\right);c=6\Rightarrow M=\left(\begin{array}{cc}7& -1\\ 28& -4\end{array}\right)$

Ninguna de las dos es la matriz nula, así que el rango de $M$ es 1 exactamente para $c=-1$ y $c=6$.



$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& -3\\ 12& 0\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -6\end{array}\right)$

$D=A^2+B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-2& -4\\ 12& -6\end{array}\right)$

La incógnita está multiplicada por $D$ por la izquierda, así que hay que multiplicar por $D^{-1}$ por ese mismo lado; antes se comprueba que esa inversa existe.

$\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=(-2)(-6)-(-4)(12)=12+48=60\mathrm{\ne }0$

$D^{-1}={\displaystyle \frac{1}{60}}\left(\begin{array}{cc}-6& 4\\ -12& -2\end{array}\right)$

$D\cdot X=-30\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-60& -30& -90\\ 0& -30& -120\end{array}\right)$

$X=D^{-1}\left(\begin{array}{ccc}-60& -30& -90\\ 0& -30& -120\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{60}}\left(\begin{array}{ccc}360& 60& 60\\ 720& 420& 1320\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 12& 7& 22\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$D\cdot X=\left(\begin{array}{cc}-2& -4\\ 12& -6\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 12& 7& 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-60& -30& -90\\ 0& -30& -120\end{array}\right)$

La matriz que cumple la ecuación es $X=\left(\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 12& 7& 22\end{array}\right)$.