Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Sea $b\in \mathbb{R}$ y la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& b+1\\ b+2& 1& 1\\ 1& 1& b\end{array}\right)$

a) Calcule los valores de $b$ para los que $A$ tiene inversa. [1 punto]

b) Halle $A^{-1}$ para el caso $b=0$ (debe justificarse adecuadamente la respuesta). [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, de modo que calculamos $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ y averiguamos para qué valores de $b$ se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 2& b+1\\ b+2& 1& 1\\ 1& 1& b\end{array}\mid$

Desarrollando por la regla de Sarrus:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2b+2+(b+1)(b+2)-(b+1)-2-2b(b+2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2b+2+b^2+3b+2-b-1-2-2b^2-4b=1-b^2$

$1-b^2=0\Rightarrow b^2=1\Rightarrow b=\pm 1$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor real de $b$ salvo $b=-1$ y $b=1$.



Para $b=0$ la matriz es:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

Por el apartado anterior $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1-0^2=1\mathrm{\ne }0$, luego la inversa existe. La calculamos por la fórmula de la matriz adjunta:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(A^t)$

La matriz $A$ es simétrica, así que $A^t=A$ y basta con hallar sus adjuntos:

$\mathrm{Adj}(A^t)=\left(\begin{array}{ccc}+\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\mid & +\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\mid \\ -\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\mid & +\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\mid \\ +\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\mid & +\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 1\end{array}\mid \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& -2\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& -2\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando por la matriz de partida:

$\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La inversa pedida es la matriz de coeficientes enteros anterior, que coincide con su propia traspuesta por ser simétrica la matriz de partida.