Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Determine todos los números $x\in \mathbb{R}$ para los que el determinante $\mid \begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& x& 3\\ 4& 1& -x\end{array}\mid$ es mayor o igual que cero. [2 puntos]

Desarrollamos el determinante para obtener una expresión polinómica en $x$ y después resolvemos la inecuación que resulta.

$\mid \begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& x& 3\\ 4& 1& -x\end{array}\mid =-x^2+0+0-(-4x)-3-0=-x^2+4x-3$

Se pide que ese valor sea mayor o igual que cero:

$-x^2+4x-3\ge 0\Rightarrow x^2-4x+3\le 0$

Al multiplicar por $-1$ la desigualdad cambia de sentido. Hallamos las raíces del polinomio para factorizarlo:

$x^2-4x+3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$

$(x-1)(x-3)\le 0$

La parábola $y=x^2-4x+3$ abre hacia arriba, de modo que es negativa entre sus dos raíces y positiva fuera de ellas. Lo comprobamos con un punto de cada intervalo:

$x=0:3>0x=2:-1<0x=4:3>0$

El determinante es mayor o igual que cero para los valores de $x$ del intervalo cerrado $[1,3]$, y en los extremos $x=1$ y $x=3$ vale exactamente cero.