Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Resuelva los siguientes apartados:

a) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, para $k\in \mathbb{R}$ sea $C$ la matriz dada por:

$C=A^t+kB\cdot A$

Averigüe para qué valores de $k$ la matriz $C$ tiene rango 2. [0,75 puntos]

b) Encuentre la matriz $X$, de dimensión $3\times 3$, que verifica $M^t\cdot X=I-M$, donde $M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$. [1,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Averig}}\ddot{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{k}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{C}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada de orden 2 tiene rango 2 exactamente cuando su determinante no se anula, así que se construye $C$ y se estudia $\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }$ en función del parámetro.

$A^t=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$C=A^t+kB\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-k& 0\\ 1& 1+k\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=(1-k)(1+k)-0\cdot 1=1-k^2$

$1-k^2=0\Rightarrow k=\pm 1$

La matriz $C$ tiene rango 2 para todo $k$ distinto de 1 y de $-1$. Para $k=1$ y $k=-1$ el determinante se anula, y como en ambos casos queda algún elemento no nulo, el rango baja a 1.



La incógnita está multiplicada por $M^t$ por la izquierda, de modo que hay que multiplicar por ${\left(M^t\right)}^{-1}$ por ese mismo lado. Antes conviene comprobar que esa inversa existe.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\mid =-1\cdot (-1)=1\mathrm{\ne }0$

desarrollando por la primera fila. Como el determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden, también $\mid M^t\mid =1$ y existe ${\left(M^t\right)}^{-1}$.

$M^t\cdot X=I-M\Rightarrow X={\left(M^t\right)}^{-1}(I-M)$

Para la inversa usamos que la adjunta de la traspuesta de $M^t$ es la adjunta de $M$.

${\left(M^t\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mid M^t\mid }}\mathrm{Adj}(M)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

$I-M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 2& 0\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 2& 0\\ 0& -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& -2\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$M^t\cdot X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 2& 0\\ 0& -1& 2\end{array}\right)=I-M$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& -2\end{array}\right)$.