Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por

$y=f(x)=x^3-3x\mathrm{.}$

a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=-1$. [2 puntos]

b) Haga un esbozo de la gráfica de $y=f(x)$ y calcule: los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el comportamiento de la función en el infinito. [4 puntos]

c) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función dada y la recta $y=2$. [4 puntos]

La pendiente de la tangente es el valor de la derivada en ese punto, y el punto de tangencia se obtiene evaluando la función.

$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=-1+3=2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3-3=0$

La pendiente es nula, de modo que la tangente es una recta horizontal:

$y-2=0(x+1)\Rightarrow y=2$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=-1$ es $y=2$.



Reunimos los elementos que determinan la curva. Cortes con los ejes:

$x^3-3x=0\Rightarrow x(x^2-3)=0\Rightarrow x=0,x=\pm \sqrt{3}$

de modo que corta al eje de abscisas en $(-\sqrt{3},0)$, $(0,0)$ y $(\sqrt{3},0)$, y al de ordenadas en el origen.

Extremos relativos:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-6<0,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6>0$

Hay un máximo relativo en $(-1,2)$ y un mínimo relativo en $(1,-2)$.

Comportamiento en el infinito:

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}(x^3-3x)=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x^3-3x)=+\mathrm{\infty }$





Los límites de integración son las abscisas de los cortes entre la curva y la recta.

$x^3-3x=2\Rightarrow x^3-3x-2=0$

$x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\text{ (doble)}\\ x=2\end{array}$

La raíz doble en $x=-1$ era previsible: ahí la recta es tangente a la curva, según el apartado a). Entre $-1$ y $2$ la recta va por encima, como se ve en el esbozo, así que integramos la diferencia en ese orden.

$\mathcal{A}={\int }_{-1}^2[2-(x^3-3x)]dx={\int }_{-1}^2(2-x^3+3x)dx$

$\mathcal{A}={[2x-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}]}_{-1}^2$

$\mathcal{A}=(4-4+6)-(-2-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{2}})=6-(-{\displaystyle \frac{3}{4}})$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{27}{4}}=\mathrm{6,75}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{27}{4}}=\mathrm{6,75}$ unidades de área.