Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

a) [1 punto] Calcule la ecuación del plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ que pasa por $C(1,1,-2)$, es paralelo a la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1,0,3)$ y $B(0,4,-1)$ y perpendicular al plano $\pi \equiv -x+y+2z=1$.

b) [1,5 puntos] Determine los valores reales de $m\in \mathbb{R}$, para que los puntos $A(-1,2,3)$, $B(-1,0,-1)$, $C(2,-1,1)$ y $D(2,3,m)$ formen un tetraedro de volumen 8 unidades cúbicas.

El vector director de la recta y el normal del plano dado son

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{AB}=(0,4,-1)-(1,0,3)=(-1,4,-4),{\vec{n}}_{\pi }=(-1,1,2)$

Si ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ es paralelo a $r$, su normal es perpendicular a ${\vec{v}}_r$; y si es perpendicular a $\pi$, su normal también lo es a ${\vec{n}}_{\pi }$. El producto vectorial de ambos da esa normal.

${\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 4& -4\\ -1& 1& 2\end{array}\mid =(12,6,3)$

Dividiendo entre $3$ tomamos ${\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}=(4,2,1)$ e imponemos que pase por $C$.

${\pi }^{\mathrm{\prime }}\equiv 4(x-1)+2(y-1)+1(z+2)=0$

${\pi }^{\mathrm{\prime }}\equiv 4x+2y+z-4=0$

El plano pedido es $4x+2y+z-4=0$.



El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de las tres aristas que concurren en un vértice.



$\overrightarrow{AB}=(0,-2,-4),\overrightarrow{AC}=(3,-3,-2),\overrightarrow{AD}=(3,1,m-3)$

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\mid \begin{array}{ccc}0& -2& -4\\ 3& -3& -2\\ 3& 1& m-3\end{array}\mid =6m-54$

$V={\displaystyle \frac{1}{6}}\mid 6m-54\mid =\mathrm{\mid }m-9\mathrm{\mid }=8$

$\mathrm{\mid }m-9\mathrm{\mid }=8\Rightarrow \{\begin{array}{l}m-9=8\Rightarrow m=17\\ m-9=-8\Rightarrow m=1\end{array}$

Los dos valores sirven, porque en ambos el producto mixto es distinto de cero y los cuatro puntos no llegan a ser coplanarios. Hay, pues, dos soluciones: $m=1$ y $m=17$.