Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}$

Considere el plano $\pi$ de ecuación $x+y=0$.

a) Calcule la ecuación del plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ que es perpendicular a $\pi$ y contiene los puntos $P=(1,-1,2)$ y $Q=(3,-3,6)$. [1 punto]
b) Calcule la ecuación paramétrica de la recta contenida en ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ y que contiene los puntos de ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ que están a la misma distancia de $P$ que de $Q$. [1,5 puntos]

Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales. Si ${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,0)$ ha de ser perpendicular a ${\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}$, entonces ${\vec{n}}_{\pi }$ es paralelo a ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ y sirve como vector director suyo. El segundo director lo da el propio segmento $PQ$.

$\overrightarrow{PQ}=(2,-2,4)\parallel (1,-1,2)$

${\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}=(1,-1,2)\times (1,1,0)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 1& -1& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =(-2,2,2)\parallel (-1,1,1)$

$-1(x-1)+1(y+1)+1(z-2)=0\Rightarrow -x+y+z=0$

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:x-y-z=0$

Comprobamos las dos condiciones: $Q$ la cumple, $3+3-6=0$, y los normales son perpendiculares, $(1,-1,-1)\cdot (1,1,0)=0$.

El plano pedido es ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:x-y-z=0$.



Los puntos del espacio que equidistan de $P$ y de $Q$ forman el plano mediador del segmento $PQ$: el que pasa por su punto medio y tiene a $\overrightarrow{PQ}$ como vector normal. La recta pedida es la intersección de ese plano con ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$.

$M={\displaystyle \frac{P+Q}{2}}=({\displaystyle \frac{1+3}{2}},{\displaystyle \frac{-1-3}{2}},{\displaystyle \frac{2+6}{2}})=(2,-2,4)$

$1(x-2)-1(y+2)+2(z-4)=0\Rightarrow x-y+2z-12=0$

Resolvemos el sistema formado por los dos planos restando la primera ecuación de la segunda:

$\begin{array}{r}x-y-z=0\\ x-y+2z=12\end{array}\}\Rightarrow 3z=12\Rightarrow z=4$

$x-y-4=0\Rightarrow x=y+4$

Tomando $y=\lambda$ como parámetro:

$r:\{\begin{array}{l}x=4+\lambda \\ y=\lambda \\ z=4\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$



La recta pasa por el punto medio $M=(2,-2,4)$, como debía ser, y su vector director $(1,1,0)$ es perpendicular a $\overrightarrow{PQ}$: es la mediatriz del segmento $PQ$ dibujada dentro del plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$.