Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Calcule los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función sea derivable: [2 puntos]

$f(x)=\{\begin{array}{ll}a(x^2-9)+{\displaystyle \frac{bx}{3}}-b,& x<3,\\ \ln (b(x-2)),& x\ge 3.\end{array}$

Una función es derivable en un punto solo si antes es continua en él, así que se imponen las dos condiciones en $x=3$, que es donde cambia la definición. En el resto de puntos cada rama es derivable por sí sola: la primera es un polinomio y la segunda un logaritmo, que exige además $b(x-2)>0$ para $x\ge 3$, es decir, $b>0$.



${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=a(9-9)+{\displaystyle \frac{3b}{3}}-b=0+b-b=0$

$f(3)=\ln (b(3-2))=\ln b$

Igualando los dos valores:

$\ln b=0\Rightarrow b=1$

que además cumple $b>0$.



Se derivan las dos ramas por separado, ya con $b=1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2ax+{\displaystyle \frac{1}{3}},& x<3\\ {\displaystyle \frac{1}{x-2}},& x>3\end{array}$

donde la derivada de la segunda rama es ${\displaystyle \frac{b}{b(x-2)}}={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$: la constante se simplifica.

$f^{\mathrm{\prime }}(3^{-})=6a+{\displaystyle \frac{1}{3}},f^{\mathrm{\prime }}(3^{+})={\displaystyle \frac{1}{3-2}}=1$

Igualando las derivadas laterales:

$6a+{\displaystyle \frac{1}{3}}=1\Rightarrow 6a={\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{9}}$

Los valores pedidos son $a={\displaystyle \frac{1}{9}}$ y $b=1$, y con ellos

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2-9}{9}}+{\displaystyle \frac{x}{3}}-1,& x<3\\ \ln (x-2),& x\ge 3\end{array}$

es continua y derivable en todo su dominio, con $f(3)=0$ y $f^{\mathrm{\prime }}(3)=1$.