Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites:

${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{(2+\sin {\displaystyle \frac{3\pi x}{2}})}^{\frac{1}{x^2-x}}}$ [1,25 puntos]

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^4-x^2+1}-\sqrt{x^4-7})}$ [1,25 puntos]

En $x=1$ la base vale $2+\sin \frac{3\pi }{2}=2-1=1$ y el exponente tiende a infinito, porque $x^2-x\to 0$: es una indeterminación $1^{\mathrm{\infty }}$. Aplicamos la regla

${\displaystyle \lim f(x{)}^{g(x)}=e^{\lim g(x)[f(x)-1]}}$



porque $\cos \frac{3\pi }{2}=0$. Por tanto,

${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{(2+\sin {\displaystyle \frac{3\pi x}{2}})}^{\frac{1}{x^2-x}}=e^0=1}$



Es una indeterminación $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$; multiplicamos y dividimos por el conjugado:

$\sqrt{x^4-x^2+1}-\sqrt{x^4-7}={\displaystyle \frac{(x^4-x^2+1)-(x^4-7)}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}}={\displaystyle \frac{-x^2+8}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}}$

El numerador es de grado 2 y el denominador, suma de dos raíces de polinomios de grado 4, también se comporta como $x^2$:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-x^2+8}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}}={\displaystyle \frac{-1}{1+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

Los límites pedidos valen $1$ y $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.