Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcular ${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x^3+x-1}-\sqrt{x^3+1}}{x-2}}}$. [2 puntos]

Sustituyendo directamente aparece una indeterminación, porque los dos radicandos valen lo mismo en $x=2$.

$\sqrt{8+2-1}=\sqrt{9}=3\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3$

${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{\sqrt{x^3+x-1}-\sqrt{x^3+1}}{x-2}}={\displaystyle \frac{3-3}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Antes que derivar conviene multiplicar y dividir por el conjugado del numerador, porque la diferencia de los radicandos es especialmente sencilla:

$(x^3+x-1)-(x^3+1)=x-2$

${\displaystyle \frac{\sqrt{x^3+x-1}-\sqrt{x^3+1}}{x-2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1}}{\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1}}}$

$={\displaystyle \frac{(x^3+x-1)-(x^3+1)}{(x-2)(\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1})}}={\displaystyle \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1})}}$

El factor $x-2$ se simplifica y con él desaparece la indeterminación:

${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1}}}={\displaystyle \frac{1}{3+3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

El valor del límite es ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.