Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}$.

a) Calcule el dominio de definición de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Determine si hay intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$. En caso afirmativo, calcúlelos. [0,75 puntos]

c) Calcule los cortes de $f(x)$ con los ejes. [0,5 puntos]

d) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)$. [0,75 puntos]

La función es un cociente de polinomios, así que solo hay que excluir los ceros del denominador.

$x-2=0\Rightarrow x=2$

$\text{Dom }f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$



La monotonía la da el signo de la derivada primera, que calculamos con la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (x-2)-(x+1)\cdot 1}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{x-2-x-1}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{-3}{(x-2{)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, y el numerador es la constante $-3$, así que

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\mathrm{\forall }x\in \text{Dom }f$

No hay ningún intervalo de crecimiento: la función es decreciente en $(-\mathrm{\infty },2)$ y en $(2,+\mathrm{\infty })$. Conviene decirlo así, con los dos intervalos separados, y no como una unión: entre ellos la función salta de $-\mathrm{\infty }$ a $+\mathrm{\infty }$.



Corte con el eje de ordenadas, haciendo $x=0$:

$f(0)={\displaystyle \frac{0+1}{0-2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow (0,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$

Corte con el eje de abscisas, haciendo $f(x)=0$. Una fracción se anula cuando lo hace su numerador:

$x+1=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow (-1,0)$





La curvatura la da el signo de la derivada segunda, que obtenemos derivando la expresión anterior escrita como potencia.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3(x-2{)}^{-2}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6(x-2{)}^{-3}={\displaystyle \frac{6}{(x-2{)}^3}}$

El numerador es positivo, de modo que el signo lo pone el cubo del denominador, que es el mismo que el de $x-2$.

$x<2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0,x>2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$

La función es cóncava en $(-\mathrm{\infty },2)$ y convexa en $(2,+\mathrm{\infty })$. No hay punto de inflexión, porque el cambio de curvatura se produce en $x=2$, que no pertenece al dominio.