Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f(x)=x^3+1$.

a) Calcule una primitiva de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule los puntos de inflexión de $f(x)$ si los hubiera. [1 punto]

c) Calcule el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX de abscisas y las rectas $x=1$ y $x=2$. [1 punto]

La integral es inmediata, término a término.

$\int (x^3+1)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x$.



Los puntos de inflexión son aquellos en los que la derivada segunda se anula y cambia de signo, así que derivamos dos veces.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 6x=0\Rightarrow x=0$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ es una recta de pendiente positiva: es negativa a la izquierda de $0$ y positiva a la derecha, luego la curva pasa de cóncava a convexa y hay inflexión. La ordenada es

$f(0)=0^3+1=1$

La función tiene un único punto de inflexión, el $(0,1)$.



Comprobamos primero el signo de la función en el intervalo: si $1\le x\le 2$ entonces $x^3+1\ge 2>0$, de modo que todo el recinto queda por encima del eje y el área es directamente la integral definida.

$A={\int }_1^2(x^3+1)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x]}_1^2$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=({\displaystyle \frac{16}{4}}+2)-({\displaystyle \frac{1}{4}}+1)=6-{\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{19}{4}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{19}{4}}=\mathrm{4,75}$ unidades de área.