Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Considere la función $f(x)=x\ln (x)$, con $x>0$.

a) Calcule la derivada de $f(x)$. [0,75 puntos]

b) Calcule una primitiva de $f(x)$. [0,75 puntos]

c) Calcule el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX de abscisas y las rectas $x=1$ y $x=2$. [1 punto]

Derivamos el producto $x\cdot \ln x$ aplicando la regla del producto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot \ln x+x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x+1$

La derivada de $f$ es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln x+1$, definida para $x>0$.



Como el integrando es el producto de un logaritmo por un polinomio, integramos por partes tomando el logaritmo como factor a derivar.

$\{\begin{array}{ll}u=\ln x& du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx\\ dv=xdx& v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\end{array}$

$\int x\ln xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-\int {\displaystyle \frac{x^2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-\int {\displaystyle \frac{x}{2}}dx$

$={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$.



Antes de integrar comprobamos el signo de $f$ en el intervalo: si $1\le x\le 2$ entonces $\ln x\ge 0$ y $x>0$, luego $f(x)\ge 0$ en todo $[1,2]$ y el recinto queda por encima del eje.

$A={\int }_1^{2}x\ln xdx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}]}_1^2$

Aplicando la regla de Barrow con la primitiva del apartado anterior:

$A=(2\ln 2-1)-(0-{\displaystyle \frac{1}{4}})=2\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

$A=2\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{4}}\approx \mathrm{0,6363}{\text{u}}^2$

El área del recinto es $2\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{4}}\approx \mathrm{0,6363}$ unidades de área.