Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x^2}}$.

a) Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$. [1 punto]

b) Halle una primitiva de $f(x)$. [0,5 puntos]

c) Calcule el área de la región limitada por la función $y=f(x)$, las rectas $x=1$, $x=2$, y el eje $OX$ de abscisas. [1 punto]

La función es un cociente, y solo hay que excluir el cero del denominador.

$x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \text{Dom }f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$

Asíntotas verticales, en el punto excluido. El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que los dos límites laterales son $+\mathrm{\infty }$:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2}{x^2}}={\displaystyle \frac{2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow x=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Asíntotas horizontales:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{x^2}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en los dos infinitos no puede haber oblicua. Las asíntotas de $f$ son, pues, $x=0$ e $y=0$.



Escribimos el integrando como una potencia de exponente negativo y aplicamos la regla de la potencia.

$\int {\displaystyle \frac{2}{x^2}}dx=2\int x^{-2}dx=2\cdot {\displaystyle \frac{x^{-1}}{-1}}+C=-{\displaystyle \frac{2}{x}}+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x}}$.



En $[1,2]$ la función es positiva y no contiene la asíntota, de modo que el área es directamente la integral definida.

$A={\int }_1^2{\displaystyle \frac{2}{x^2}}dx={[-{\displaystyle \frac{2}{x}}]}_1^2$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=(-{\displaystyle \frac{2}{2}})-(-{\displaystyle \frac{2}{1}})=-1+2=1$



El área de la región es de $1$ unidad de área.