Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Existen funciones que aunque tienen primitivas, estas no pueden expresarse en términos de funciones elementales y no podemos calcularlas. Un ejemplo es $f(x)=\mathrm{sen}(x^2)$. Aunque no la podemos calcular, vamos a llamar $F(x)$ a la primitiva de $f(x)$ que cumple $F(0)=0$.

a) ¿Cuál es la derivada de $F(x)$? [0,8 puntos]

b) Utiliza la regla de L'Hôpital para calcular

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^3}\mathrm{.}}$

[1,2 puntos]

Que $F$ sea una primitiva de $f$ significa exactamente que su derivada es $f$, sin necesidad de conocer la expresión de $F$.

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)=\mathrm{sen}\left(x^2\right)$

La derivada de $F$ es $\mathrm{sen}\left(x^2\right)$, y para escribirla no hace falta calcular la primitiva, que es justo lo que dice el enunciado que no se puede hacer.



Al sustituir, el numerador vale $F(0)=0$ por el dato del enunciado y el denominador $0^3=0$, así que hay una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ y podemos aplicar la regla de L'Hôpital. La derivada del numerador es la del apartado anterior.

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{F(x)}{x^3}}={\displaystyle \frac{0}{0}}}$

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{F(x)}{x^3}}=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\left(x^2\right)}{3x^2}}}$

De nuevo numerador y denominador tienden a 0, de modo que volvemos a derivar:

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\left(x^2\right)}{3x^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2x\cos \left(x^2\right)}{6x}}=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos \left(x^2\right)}{3}}={\displaystyle \frac{\cos (0)}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}}$

Se llega al mismo resultado sin derivar una segunda vez, usando la equivalencia $\mathrm{sen}(u)\sim u$ cuando $u\to 0$, que con $u=x^2$ da $\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$.

El límite pedido vale $\frac{1}{3}$.