Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Sea $f(x)$ una función continua definida en $[0,+\mathrm{\infty })$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}$, $\mathrm{\forall }x>0$, y $f(1)=2e-2$.

a) Calcula $f(x)$ y ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)}$. [1 punto]

b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$. Justifica que $f(x)\ge 0$, $\mathrm{\forall }x\ge 0$. [1 punto]

Conocemos la derivada de $f$, así que $f$ es una primitiva suya; la calculamos con el cambio de variable $t=\sqrt{x}$ y después ajustamos la constante con el dato $f(1)=2e-2$.

$f(x)={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}dx}$

$\{\begin{array}{l}t=\sqrt{x}\\ dt={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}dx\Rightarrow {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x}}}=2dt\end{array}$

$f(x)={\displaystyle \int e^t\cdot 2dt=2e^t+C=2e^{\sqrt{x}}+C}$

Imponemos la condición del enunciado:

$f(1)=2e^{\sqrt{1}}+C=2e+C=2e-2\Rightarrow C=-2$

$f(x)=2e^{\sqrt{x}}-2$

Como la función $2e^{\sqrt{x}}-2$ es continua en $x=0$, el límite se obtiene sustituyendo:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }(2e^{\sqrt{x}}-2)=2e^0-2=2-2=0}$

La función es $f(x)=2e^{\sqrt{x}}-2$ y su límite en el origen por la derecha vale 0.



La monotonía la da el signo de la derivada, y aquí la derivada nos la da el propio enunciado, de modo que no hay que estudiar ningún punto crítico: basta razonar sobre el signo de cada factor.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}>0\mathrm{\forall }x>0$

En efecto, el numerador es una exponencial, siempre positiva, y el denominador es la raíz cuadrada de un número positivo, también positiva. La derivada no se anula en ningún punto.

$f\text{ es creciente en }(0,+\mathrm{\infty })\text{y no decrece en ning}\acute{\text{u}}\text{n intervalo}$

Como además $f$ es continua en $[0,+\mathrm{\infty })$, el crecimiento se extiende al intervalo cerrado: $f$ es creciente en todo $[0,+\mathrm{\infty })$.

Por el apartado a), el valor de la función en el extremo del intervalo es

$f(0)=2e^0-2=0$

Al ser creciente en $[0,+\mathrm{\infty })$, cualquier $x\ge 0$ cumple $f(x)\ge f(0)$, es decir:

$f(x)\ge f(0)=0\mathrm{\forall }x\ge 0$

La función crece en todo su dominio y su valor más pequeño es el del origen, que vale 0; por eso $f(x)\ge 0$ para todo $x\ge 0$.