Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Considere las funciones $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definidas por $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ y $g(x)=x^2-2$.

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. Esboce el recinto que determinan. [1 punto]

b) Determine el área del recinto anterior. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathit{g}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Esboce}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{determinan.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La primera función lleva un valor absoluto, así que la escribimos a trozos y resolvemos la igualdad en cada uno, quedándonos solo con las soluciones válidas en su tramo.

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x& \text{si }x<0\\ x& \text{si }x\ge 0\end{array}$

Para $x\ge 0$:

$x=x^2-2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow (x-2)(x+1)=0$

De las dos raíces solo vale $x=2$, pues $-1$ no cumple $x\ge 0$. Para $x<0$:

$-x=x^2-2\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow (x+2)(x-1)=0$

Ahora solo vale $x=-2$. Las ordenadas son:

$g(\pm 2)=4-2=2$

Entre esas dos abscisas la gráfica de $f$ queda por encima, como se ve en $x=0$, donde vale $0$ frente a $-2$:



Los puntos de corte son $(-2,2)$ y $(2,2)$, y el recinto que encierran es el sombreado, limitado por arriba por la V del valor absoluto y por abajo por la parábola.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ambas funciones son pares, así que el recinto es simétrico respecto del eje de ordenadas y basta integrar de $0$ a $2$ y duplicar. En ese tramo $f(x)=x$, con lo que desaparece el valor absoluto.

$\mathcal{A}=2{\int }_0^2[x-(x^2-2)]dx=2{\int }_0^2(x-x^2+2)dx$

$=2{[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x]}_0^2=2(2-{\displaystyle \frac{8}{3}}+4)$

$=2\cdot {\displaystyle \frac{10}{3}}={\displaystyle \frac{20}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{20}{3}}\approx \mathrm{6,67}$ unidades de área.