Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Sea $f$ la función dada por $f(x)={\displaystyle \frac{3x^2+4}{(x-2{)}^2}}$ para $x\mathrm{\ne }2$.

a) Calcule ${\displaystyle \int f(x)dx}$. [2 puntos]

b) Calcule la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(3,5)$. [0,5 puntos]

El denominador es el cuadrado de $x-2$ y el numerador tiene el mismo grado, así que empezamos por la división entera y después descomponemos el resto en fracciones simples.

$3x^2+4=3{(x-2)}^2+(12x-8)$

$f(x)=3+{\displaystyle \frac{12x-8}{(x-2{)}^2}}$

Al ser la raíz doble, la descomposición lleva un término por cada potencia del factor:

${\displaystyle \frac{12x-8}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{A}{x-2}}+{\displaystyle \frac{B}{(x-2{)}^2}}$

$12x-8=A(x-2)+B$

$x=2\Rightarrow 16=B;\text{coeficiente de }x:12=A$

Integramos ya término a término:

${\displaystyle \int f(x)dx=\int 3dx+12\int {\displaystyle \frac{dx}{x-2}}+16\int {(x-2)}^{-2}dx}$

$=3x+12\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{16}{x-2}}+C$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Entre todas las primitivas del apartado anterior hay que elegir la que cumple $F(3)=5$, lo que fija la constante.

$F(3)=9+12\ln 1-{\displaystyle \frac{16}{1}}+C=9-16+C=-7+C$

$-7+C=5\Rightarrow C=12$

La primitiva pedida es $F(x)=3x+12\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{16}{x-2}}+12$.