Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -1\end{array}\right)$.

a) Calcule los productos de matrices $A\cdot B$ y $B\cdot A$. ¿Se cumple que $A\cdot B=B\cdot A$? [1 punto]

b) Compruebe si es cierta la igualdad $(A+B{)}^2=A^2+B^2$. [1 punto]

Efectuamos los dos productos por separado y comparamos los resultados.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-4& 1+1\\ 2+4& 2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 6& 1\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+2& -1+1\\ 4-2& -4-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 2& -5\end{array}\right)$

Las dos matrices son distintas, luego $A\cdot B\mathrm{\ne }B\cdot A$: el producto de matrices no es conmutativo.



Calculamos cada miembro por separado. Primero la suma y su cuadrado:

$A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 6& 0\end{array}\right)\Rightarrow (A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 6& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 6& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 12& 0\end{array}\right)$

Y ahora los dos cuadrados por separado:

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1-2& -1-1\\ 2+2& -2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 4& -1\end{array}\right)B^2=\left(\begin{array}{cc}1+4& 1-1\\ 4-4& 4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$

$A^2+B^2=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 4& 4\end{array}\right)$

$(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 12& 0\end{array}\right)\mathrm{\ne }\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 4& 4\end{array}\right)=A^2+B^2$

La igualdad no es cierta. La razón está en el apartado anterior: desarrollando el cuadrado,

$(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$

y la igualdad solo se cumpliría si $AB+BA$ fuese la matriz nula, cosa que aquí no ocurre porque

$AB+BA=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 8& -4\end{array}\right)\mathrm{\ne }\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$