Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 2& a& 1\\ 2& 2& 0\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 2& -1& -1\end{array}\right)$.

a) Determine los valores de $a$ para los que la matriz $B$ no tiene inversa. [0,5 puntos]

b) Para $a=1$ calcule $X$ tal que $AXB=C$, si es posible. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{B}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante se anula. Lo desarrollamos por la primera fila.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 2& a& 1\\ 2& 2& 0\end{array}\mid =1(0-2)-1(0-2)+a(4-2a)$

$=-2+2+4a-2a^2=-2a(a-2)$

$-2a(a-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=2\end{array}$

La matriz $B$ no tiene inversa para $a=0$ y para $a=2$.



En la ecuación $AXB=C$ la incógnita está entre dos matrices, así que hay que multiplicar por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $B^{-1}$, sin alterar ese orden. Comprobamos antes que ambas inversas existen.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mathrm{\ne }0;\mathrm{\mid }B{\mathrm{\mid }}_{a=1}=-2\cdot 1\cdot (1-2)=2\mathrm{\ne }0$

$X=A^{-1}C{B}^{-1}$

Las dimensiones encajan: $A^{-1}$ es $2\times 2$, $C$ es $2\times 3$ y $B^{-1}$ es $3\times 3$, luego $X$ será $2\times 3$.

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right);B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 0\\ 2& -2& 1\\ 2& 0& -1\end{array}\right)$

Multiplicamos por orden, empezando por los dos primeros factores:

$A^{-1}C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 2& -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 4& -1& -5\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 4& -1& -5\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 0\\ 2& -2& 1\\ 2& 0& -1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-6& 2& 2\\ -20& 10& 4\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-3& 1& 1\\ -10& 5& 2\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado: al calcular $AXB$ se recupera la matriz $C$.

Para $a=1$ la ecuación tiene solución única, $X=\left(\begin{array}{ccc}-3& 1& 1\\ -10& 5& 2\end{array}\right)$.