Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& -4& -5\\ -1& 3& 4\end{array}\right)$.

a) Compruebe que $A^2=-A^{-1}$. [1,25 puntos]

b) Dadas las matrices $B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 0\\ -4& 5\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -3& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$, calcule la matriz $X$ que verifica $A^{4}X+B=AC$. [1,25 puntos]

La igualdad que hay que comprobar equivale, multiplicando los dos miembros por $A$, a que $A^3=-I$, que es mucho más cómodo de verificar porque no exige calcular ninguna inversa. Antes conviene asegurarse de que $A^{-1}$ existe.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& -4& -5\\ -1& 3& 4\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

Calculamos el cuadrado:

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& -4& -5\\ -1& 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& -4& -5\\ -1& 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 4& 4\\ -1& -3& -3\end{array}\right)$

Y multiplicamos otra vez por $A$:

$A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)=-I$

De $A^{2}A=-I$, multiplicando por la derecha por $A^{-1}$, se obtiene lo pedido:

$A^2=-A^{-1}$



Despejamos $X$ pasando $B$ al otro miembro y multiplicando por la izquierda por la inversa de $A^4$. La relación del apartado anterior simplifica mucho esa inversa:

$A^4=A^{3}A=-IA=-A\Rightarrow {\left(A^4\right)}^{-1}=-A^{-1}=A^2$

$A^{4}X=AC-B\Rightarrow X=A^2(AC-B)$

Calculamos primero el producto $AC$:

$AC=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& -4& -5\\ -1& 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -3& 2\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 9& -3\\ -7& 2\end{array}\right)$

$AC-B=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 9& -3\\ -7& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 0\\ -4& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-6& 3\\ 6& -3\\ -3& -3\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 4& 4\\ -1& -3& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-6& 3\\ 6& -3\\ -3& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 6& -21\\ -3& 15\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado: al calcular $A^{4}X+B$ se recupera $AC$.

La matriz pedida es $X=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 6& -21\\ -3& 15\end{array}\right)$.