Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Considere $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$ y $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.

a) Halle los valores de $\lambda$ tales que $\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=0$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Para $\lambda =1$, resuelva el sistema dado por $(A-\lambda I)X=0$. ¿Existe alguna solución tal que $z=1$? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Escribimos la matriz $A-\lambda I$ restando el parámetro en la diagonal y desarrollamos su determinante por la primera columna, que tiene dos ceros.

$A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 3\\ 0& -\lambda & 2\\ 0& 1& 1-\lambda \end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=(1-\lambda )\mid \begin{array}{cc}-\lambda & 2\\ 1& 1-\lambda \end{array}\mid =(1-\lambda )[-\lambda (1-\lambda )-2]$

$=(1-\lambda )({\lambda }^2-\lambda -2)=(1-\lambda )(\lambda -2)(\lambda +1)$

Un producto se anula cuando lo hace alguno de sus factores:

$\lambda =1,\lambda =2,\lambda =-1$

Los valores pedidos son $\lambda =-1$, $\lambda =1$ y $\lambda =2$.



Para $\lambda =1$ el determinante se anula por el apartado anterior, así que el sistema homogéneo tiene infinitas soluciones.

$A-I=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& -1& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}2y+3z=0\\ -y+2z=0\\ y=0\end{array}$

La tercera ecuación da $y=0$ directamente, y llevándolo a la segunda:

$2z=0\Rightarrow z=0$

La primera ecuación se satisface entonces automáticamente. La incógnita $x$ no aparece en ninguna ecuación, luego queda libre:

$(x,y,z)=(\mu ,0,0),\mu \in \mathbb{R}$

El sistema tiene infinitas soluciones, todas de la forma $(\mu ,0,0)$, y ninguna cumple $z=1$: las dos últimas ecuaciones obligan a que $z=0$ en todas ellas.